裁剪的策略与方法复杂而神秘的张量网络世界里，我们常常面临着如何在不改变其几何结构的前提下，对某一几何指标的维数进行巧妙裁剪，并且确保裁剪前后的误差能够达到极小化这一极具挑战性的问题。这需要我们对张量网络的内在结构和数学本质有深入的理解，以及运用精妙的数学技巧来实现这一目标。
无圈张量网络几何指标维数裁剪的思考起点
首先，我们将目光聚焦于无圈（loop-free）张量网络的几何指标维数裁剪问题。为了更具体地阐述这一问题，让我们来看一个具有代表性的张量网络示例，如以张量?????????????????为例。在这个张量网络中，我们可以清晰地看到各个指标之间的相互连接和作用关系。现在，我们考虑对图中红色加粗的辅助指标进行维数裁剪操作。
这个看似简单的操作，实则蕴含着深奥的数学奥秘。因为一旦我们对某个指标的维数进行了裁剪，就如同在一张错综复杂的织锦上轻轻剪下了一刀，虽然只是一个小小的改动，但却可能引发一系列连锁反应。所以，我们需要谨慎而巧妙地处理这个问题，以确保整个张量网络的几何结构保持不变，就像在拆除一座建筑的一部分时，要确保其整体框架稳固不倒一样。
转化为矩阵的最优低秩近似问题
要实现对红色几何指标维数的精准裁剪，我们可以将这个复杂的问题转化为一个更为熟悉且易于处理的数学问题——矩阵的最优低秩近似问题。具体而言，我们要寻找??[????????][????????????]的最优低秩近似。
这里，??[??????][?????????]代表着我们将原始的张量通过一种特定的方式reshape成矩阵形式。在这个过程中，两个方括号中的指标被看作是矩阵的左、右指标，它们分别承担着不同的角色和意义。左边的指标如同矩阵的行索引，代表着切断待裁剪指标后张量网络其中一部分中的开放指标；而右边的指标则类似于矩阵的列索引，对应着另一部分中的开放指标。这种转化并非简单的形式变换，而是通过对张量网络结构的深入分析和理解，将其内在的信息以一种更为简洁明了的方式呈现出来。
避免使用SVd实现维数裁剪的原因
在解决矩阵的最优低秩近似问题时，人们很自然地会想到使用奇异值分解（SVd）这一强大的数学工具。然而，在我们这个特定的问题中，由于目标仅仅是裁剪红色几何指标的维数，而不改变张量网络的结构等其他关键因素，所以我们并不推荐通过计算SVd来实现维数裁剪。
SVd虽然是一种有效的数学方法，但它在某些情况下可能会带来一些不必要的复杂性和副作用。就像一把锋利的的手术刀，虽然能够精准地切割，但如果使用不当，也可能会对身体造成额外的伤害。同样，SVd在处理我们这个问题时，可能会破坏张量网络原有的微妙结构和内在关系，导致裁剪后的张量网络出现一些我们不希望看到的变化。因此，我们需要寻找更为温和、更为精准的方法来实现维数裁剪这一目标。